追記

>でもz≠xだしz≠yでもあるので、z*(x^2)もz*(y^2)も、素因数分解の一意性より、全ての素因数を3の倍数個含むことはあり得ないわけ。

いやちょっと待った、
z≠xというだけでは整数の積z*x^2の立方根が整数にならないと言う根拠にはならない。
なぜなら、zとxの共通の因子の積（つまりGCM)をgと置いたとき、互いに素な整数x'とz'が存在して
　z=g*z'
　x=g*x'
と置けるわけだが、z'とx'が「互いに素」というだけでは
　z'=p^3 かつ x'=q^3
という反例が存在するのだ（ここでp,qは互いに素な別の整数の一組。）

いくら病的とはいえ反例には違いないから、この証明の瑕疵は修正されねばならない
たった今漏れはそれを思いついたところ
多分n=3のケースについてはz^2=x^2+y^2からの発展という捻りで初等的な証明を与えることができる、