n=3のケース

【主題】
次の関係式を満たす正の整数x,y,zは存在しない
　z^3 = x^3 + y^3

以下証明を企てる。

【トライ1】
xとyのG.G.M.をgとおくと、互いに素な正の整数p, qが存在して
　x = g*p
　y = g*q
と書ける。すると
　x^3 + y^3 = (g^3) * (p^3 + q^3) = (g^3) * (p + q) * ((p + q)^2 - 3*p*q)
これより(x^3 + y^3) / (g^3)（整数）は(p + q)で割り切れるが、(p + q)^3よりは小さいことがわかる。
よって、x^3 + y^3の立方根が整数になるためには、(p + q)の立方根sと((p + q)^2 - 3*p*q)の立方根tの両方が整数にならねばならない。
すなわちs,tについて次式が成立せねばならない。
　s^3 = p + q
　t^3 = p^2 + q^2 - p*q
...

z'^2 = p^2 + q^2を満たす整数z'が存在しようがしまいが何も言えNEEEE!
ちょっと誤解してたがn=2のケースとn=3のケースの間には簡単に言える関係は無いっぽい、

【トライ2】
（・・・途中まで同上につき省略・・・）
すなわちs,tについて次式が成立せねばならない。
　s^3 = p + q
　t^3 = (p + q)^2 - 3*p*q

いま条件を満たす整数sが存在したとすると、(p + q)^2は
　(p + q)^2 = (s^3)^2 = (s^2)^3
であり整数の立方根s^2を持つが、t^3はこれより（3*p*qだけ）小さいので
　t≦s^2 - 1
∴t≦(p + q)^(2/3) - 1
一方、p,qについての相加・相乗平均の関係より
　t^3 = (p + q)^2 - 3*p*q ＞(1/4) * (p + q)^2
∴t＞( (1/4)^(1/3) ) * (p + q)^(2/3)
（p≠qなので等号は無い。)
...

t存在範囲の上限が(p + q)^(2/3)ペースで増えていくのに下界が0.6299*(p + q)^(2/3)ペースでしか増ないよﾏﾏﾝつД｀;)
ちょっと誤解してたが減り分3*p*qというのは立方根tの増加に対して無視できないぐらいデカイ(隣り合う整数tの3乗同士の隔たりを簡単に超えてしまう)らしい、

【トライ3】
（・・・途中まで同上につき省略・・・）
すなわちs,tについて次式が成立せねばならない。
　s^3 = p + q
　t^3 = (p + q)^2 - 3*p*q

仮定より、p,qは互いに素のため、(p + q)はp,qのいずれとも互いに素である。
（∵さもなくばp + qから括り出せる1より大の因子が存在することになり、p,qが素という仮定に反する。）
p^2 + q^2 - p*qも同様で、p,qのいずれとも互いに素である。

よって、p,qに含まれる因子は、s^3およびt^3には全く現れない。
...

だからどうした、
ちょっと誤解してたがs^2かt^2の全ての因子が3個づつ現れるケースの否定は制約がなさ過ぎて言えなかった、orz

というわけで、格子点上に解が来るかどうかと言う問題を解くときの普通のやり方はおおよそ試した

n=3は普通じゃないやり方が必要っぽい、