モンティーホール問題
以下標本空間を記号Ωで表し、その要素eの確率をP(e)と書く。
とした上で、3つのドアA,B,Cのうち、外れのドアを小文字で書くとしよう。
ドア提示時の（事象の生起を記述する）確率空間：
Ω_1 = {初期事象} = { Abc aBc abC }, ∀e∈Ω_1: P(e) = 1/3 （とみなす）
プレイヤーの初回回答時の確率空間：
Ω_2 = {初期事象}×{プレイヤーの初回選択} = { (Abc,A), (Abc,b), ..., (abC, C) }, ∀e∈Ω_1: P(e) = 1/9
モンティーはプレイヤーが選んだドアを除く2つのドアのうち、ヤギのいる方を空ける。
ただし、2つのドアの両方がヤギなら、どちらかをランダムに開ける*1。
よって、モンティーがドアを選択して開けた時点の確率空間は次となる：
Ω_3 = {初期事象}×{プレイヤーの1回目選択}×{モンティーの選択} = {
(Abc, A, b), (Abc, A, c), -- それぞれP(e)=1/18
(Abc, b, c), -- P(e) = 1/9
(Abc, c, b), -- P(e) = 1/9
(aBc, a, c), -- P(e) = 1/9
(aBc, B, a), (aBc, B, c), -- それぞれP(e) = 1/18
(aBc, c, a), -- P(e) = 1/9
(abC, a, b), -- P(e) = 1/9
(abC, b, a), -- P(e) = 1/9
(abC, C, a), (abC, C, b) -- それぞれP(e) = 1/18
上記以外 -- 全てP(e)=0
}
プレイヤーが最初の選択を変えなかった場合
Ω_3のうち、プレイヤーが選択を変えなかった場合にプレイヤーが景品を獲得する事象は
(Abc, A, b), (Abc, A, c), -- それぞれP(e)=1/18
(aBc, B, a), (aBc, B, c), -- それぞれP(e)=1/18
(abC, C, a), (abC, C, b) -- それぞれP(e)=1/18
の6つで、それぞれP(e)=1/18なので、プレイヤーが景品を獲得する確率は6*(1/18) = 1/3。
プレイヤーが最初の選択を変えた場合
Ω_3のうち、プレイヤーが選択を変えた場合*2にプレイヤーが景品を獲得する事象は
(Abc, b, c), -- P(e) = 1/9
(Abc, c, b), -- P(e) = 1/9
(aBc, a, c), -- P(e) = 1/9
(aBc, c, a), -- P(e) = 1/9
(abC, a, b), -- P(e) = 1/9
(abC, b, a), -- P(e) = 1/9
の9つで、それぞれP(e)=1/9なので、プレイヤーが景品を獲得する確率は確率は6*(1/9) = 2/3。
というわけですみなさんモンティーホールに出演するときお役立てください
